x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod2) olmalı

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+a_n-2.10^n-2+ . . . +a₁.10¹+a₀

10 º 0(mod2) olduğuna göre “n∈N için 10ⁿ º 0 (mod2)

x º 0+0+0+ . . . +a₀ º 0 (mod2) olmalı.

Demek ki a₀ º 0(mod2) olmalı.

O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır.

3 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod3) olmalı

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+a_n-2.10^n-2+ . . . +a₁.10¹+a₀

10 º1 (mod3) olduğuna göre “n∈N için 10ⁿ º 1(mod3)

x º a_n.1+a_n-1.1+ . . . +a.1+a₀ º 0 (mod3) olmalı

Demek ki a_n+a_n-1+a_n-2+ . . . +a₁+a₀ º 0 (mod3) olmalı

O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.

4 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+a_n-2.10^n-2+ . . .+a₂.10²+a₁.10¹+a₀ º0 (mod4) olmalı

10¹ º 2 (mod4)

10² º 0 (mod4)

10³ º 0 (mod4)

10⁴ º 0 (mod4)

O halde

x º a_n.0+a_n-1.0+ . . . +a₂.0+a₁.10+a₀ º 0 (mod4)

a₁.10+a₀ º 0 (mod4) olmalı

O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.

5 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . .a₀   sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod5) olmalı

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+a_n-2.10^n-2+ . . .+a₁.10¹+a₀

10 º 0 (mod5) olduğuna göre “n∈N için 10ⁿ º 0(mod5)

x º a_n.0+a_n-1.0+ . . . +a₁.0+a₀ º 0 (mod5) olmalı

a₀ º (mod5)

O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.

6 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . .a₁a₀   sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+ . . . +a₃.10³+a₂.10²+a₁.10¹+a₀ º 0(mod6) olmalı

6 = 2 . 3 olduğuna göre  x º 0 (mod6) ise

                                                   x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.

7 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . .a₁a₀   sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+ . . . +a₃.10³+a₂.10²+a₁.10¹+a₀ º 0(mod7)

10¹ º 3  (mod7)

10² º 2  (mod7)

10³ º 6 º -1 (mod7)

10⁴ º-3 (mod7)

10⁵ º-2 (mod7)

10⁶ º 1  (mod7)

x =  . . . +a₆.(1) + a₅.(-2)+a₄.(-3) + a₃.(-1)  +  a₂.2+a₁.3+a₀   = 0 (mod7)

                             +             -                        +

O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er  3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer  (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.

8 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için

x º 0(mod8) olmalı

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+ . . . +a₃.10³+a₂.10²+a₁.10¹+a₀ º 0(mod8) olmalı

10¹ º 2 (mod8)

10² º 4 (mod8)

10³ º 0 (mod8)        “n∈N⁺ ve n ³ 3 için 10ⁿ º 0 (mod8)

10⁴ º 0 (mod8)

x = a_n.0+a_n-1.0+ . . . + a₃.0+a₂.10²+a₁.10+a₀ º 0 (mod8) olmalı

a₂.10²+a₁.10+a₀ = a₂a₁a₀ º 0 (mod8) olmalı

O halde son 3 basamağındaki sayı  8 in katı olmalıdır.

9 İle Bölünebilme

x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+ . . . +a₃.10³+a₂.10²+a₁.10¹+a₀ º 0 (mod9) olmalı.

10 º 1(mod9) “n∈N için 10ⁿ º 1(mod9)

x = a_n.1+a_n-1.1+a_n-2.1+ . . . +a₁.1+a₀ º 0 (mod9) olur 

a_n+a_n-1+a_n-2+ . . . a₁+a₀ º 0 (mod9) olur.

O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.

11 İle Bölünebilme

         x = a_na_n-1a_n-2 . . . a₀   sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

         x º 0 (mod11) olmalı

         x = a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+ . . . +a₃.10³+a₂.10²+a₁.10¹+a₀

“n∈N ve n, çift için 10n º 1  “n∈N ve n, tek için 10n º-1

10¹ º -1 (mod11)

10² =100 º 1 (mod11)

10³ º-1 (mod11)

10⁴ º 1 (mod11)

10⁵ º-1 (mod11)

10⁶ º 1 (mod11)

x = a_n.(1)+a_n-1.(-1)+a_n-2.(1)+ . . . +a₂.(1)+a₁.(-1)+a₀

a_n-a_n-1+a_n-2+ . . . +a₂-a₁+a₀ º 0 (mod11)

O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.

21 İle Bölünebilme

         21 = 3 . 7

         Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.