PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0…………………………………………………..1
s(A)=1………………………………………………..1…..1
s(A)=2……………………………………………1…..2…..1
s(A)=3……………………………………….1…..3…..3…..1
s(A)=4……………………………………1…..4…..6…..4…..1
s(A)=5………………………………..1…..5…..10….10…..5….1 …
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4 …………..1…..4…..6…..4…..1
s(A)=5……….1…..5…..10…..10…..5…..1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,….alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı……….10……….(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı……….5……….(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.
(a+b)5=?
|
Katsayılar |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
A nın kuvvetleri |
a5 |
a4 |
a3 |
a2 |
a |
1 |
|
B nin kuvvetleri |
1 |
b |
b2 |
b3 |
b4 |
b6 |
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
|
Katsayılar |
1 |
2 |
1 |
|
5x’in kuvvetleri |
25x2 |
5x |
1 |
|
-3y’nin kuvvetleri |
1 |
-3y |
9y2 |
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.