LOGARİTMA

1. TANIM

 

a R⁺ -{1} ve  x R⁺ olmak üzere, a^y = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

a R⁺-{1}, x R⁺ ve y R olmak üzere,

 

ay=x Û y=log_a x    tir.

 

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

 

Örnekler:

1) log₂ 8 = y Þ 8= 2^y Þ y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3 Þ 64 = a³ Þ a = 4 tür.

3) log₃ x = -2 Þ x = 3^-2 Þ x =  dur.

4) log_a a = x Þ a = a^x Þ x = 1 dir.

5) log_a 1 = n Þ 1 = aⁿ Þ n = 0 dır.

6) log₅ (-25) v= m Þ -25 = 5^m Þ m R dir.

 

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

 

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

 

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 Þ log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1 Þ log₂ x = 3¹ Þ x = 2³ = 8 dir.

 

Örnek:

Log₃ (a³.b.c) = 5      log₃  = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

 

Çözüm:

log₃(a³.b.c) = 5 Þ  a3.b.c = 3⁵

log₃ =1    Þ      =3¹

                             x   

                             a3.b3 = 3⁶

                             a.b = 3²

                             a.b = 9 dur.

 

 

 

Örnek:

log ₃ a = 3 ve log b = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

 

Çözüm:

log ₃ a = 3 Þ a = ³ Þ a = 2 dir.

log b = 4   Þ b = ⁴ Þ b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.

 

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

 

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

 

Örnek:

log₁₀ 10 = log10 = 1 dir.

 

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = log_e x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

 

Örnek:

Log_e e = ln e = 1 dir.

 

 

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

 

x,y R⁺ ve a  R⁺ – {1} olmak üzere,

 

1) log_a (x.y) = log_a x + log_a y

2) log_a  = log_a x – log_a y

3) log  x^m = log_a x

4) log_a x = log_a y Þ x = y                           dir.

 

 

Örnek:

1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1

2) log 300 – log 3 = log  = log 100 = log (10²) = 2. log 10 =2

3) log₂₅ 125 = log 5³ =  log₅ 5 =   

 

 

 

 

Örnek:

log (2x-y) = log x + log y  olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

log (2x-y) = log x + log y Þ log (2x-y) = log (x.y)

Þ 2x – y = x.y

Þ 2x = x.y +y 

Þ 2x = y. (x+1)

Þ y =  dir.

 

Örnek:

log (a.b) = 3

log  = 1   olduğuna göre, a değerini bulalım.

 

Çözüm:

log (a.b) = 3 Þ log a + log b = 3

log  = 1 Þ log a – log b = 1

                    + 

                          2 log a = 4

                             log a = 2

                             a= 10₂ = 100 dür.     

Örnek:

log₂   işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

log₂  = log₂    =log₂  = log₂ 2  =  tür.

 

Örnek:

a =  olduğuna göre, log_b  değerini bulalım.

 

Çözüm:

a = Þ log_b  = log_b  = log_b  = log_b b  =  tür.

 

Örnek:

 

log 5 = a,  log 3 = b, log 2 = c    olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini      

                                                    bulalım.

 

 

 

Çözüm:

 

log (22,5) = log  = log  = log 5 + log 3² – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2

= a + 2b – c  dir.

 

Örnek:

Log₅ x² = 6 + log ₅        olduğuna göre, x değerini bulalım.

 

Çözüm:

Log₅ x² = 6 + log ₅  Þ 2. log₅ x = 6 + log₅ x^-1

Þ 2. log₅ x = 6 – log₅ x     

Þ 3. log₅ x = 6

Þ log₅ x = 2

Þ x = 5² = 25   tir.

admin tarafından yazılmıştır \\ etiketler: logoritma