Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri’ne kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar , hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar .Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı .Avlanmak ve balık tutmak için silahları , birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler .Yontma Taş Devri’nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler .Fransa ve İspanya’daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı .

Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki , yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı .Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır .

Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan aklının ürünü en soyut düşünceler” olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; “bir insan” değil sadece “insan” kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla
daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .

İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :

Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval – petcheval

Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba

Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar , ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim .Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup , bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146’sı onluk , 106’sı onluk , onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım .Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler tarafından kullanıldı .

Sayılar kümelere ayrılarak , tahtanın üstüne çentik , ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır .

Yontama Taş Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937’de Vestonica’da bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25’i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı .Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu .

Böylece , sık sık söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı .” görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu .Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin’deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .

Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5’erli 10’arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20’nin 10+10 değil de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı .Bölme , 10’un “vücudun yarısı” olarak gösterilmesiyle başladı , ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi .Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu , çoğu durumda bu ½’ydi .Bazen 1/3

ya da ¼’de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncil’de ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar .

Tarih Öncesi Çağlarda Geometri
Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak ; parmak , ayak , karış gibi basit ölçüler kullanıldı .Arşın , kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler .Örneğin ; “Düz sözcüğü “germek” sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir .”Doğru” ve “Keten kumaş” sözcükleri , dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir .Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi .

Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması , sazların örülmesi , sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı , daha sonra da metallerin işlenmesi , düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi .Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devri’nde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; eş şekiller kullanılırdı .Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar , bazılarında ise “kutsal” sayılar yer alıyordu .Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır .

Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır .Bunların çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır .

Taş Devri dinlerinde , doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli sayılar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı .Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar , matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir .”Modern” sayı bilimi , Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devri’nin büyü törenlerinin mirasıdır .

Zaman Kavramı
En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya başladı .Bitkilerdeki değişimlerin Ay’daki değişimlerle ilişkilendirildiği Ay takviminin kullanılması , insanlık tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanır .İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi yıldızlı Süreyya burcunun yükselişini ilgiyle izliyordu .İlk uygarlıkları kuran insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanıyordu .İlk insanlar , takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar .Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve açısal yönlerin özellikleri hakkında bilgi edinildi .

Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin , şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla çakışmayabileceğini göstermektedir .İnsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi gösterilmiştir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel dallarının başlangıcı modern zamanlardadır .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda şöyle düşünmektedir :
Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu.

Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme; kök veya köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir.
Denklem; içindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin üssüne göre adlandırılır.

O HALDE;
5x – 5 = 15, y + 2 = 6 açık önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
2x + y = 9 açık önermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x + y + z = 4 açık önermesi üç bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x² – 9 = 16 açık önermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

İçinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Genel olarak; a,b,c Є R ve a ≪ 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

DENKLEM ÇÖZÜMÜNDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖZELLİKLER

1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı
eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir.

2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıyla çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin çarpma kuralı denir.

3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin bölme kuralı denir.

4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin
bir tarafından diğer tarafına geçirerek işlem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin işareti değiştirilir.

Pratik Çözüm

Bir denklemi pratik çözmek için ;

Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir.

Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.

ÖRNEKLER

1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini
bulalım:

Çözüm:
x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama
işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz.

Buna göre; x + 6 = 10
x + 6 + (-6) = 10 + (-6)
x + 0 = 4
x = 4 olur.
Ç = {4} olur.

Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.

Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir.

4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

x = 4 için x + 6 = 10
4 + 6 =10
10 = 10 olduğundan
çözüm doğrudur.
x + 6 = 10
x = 10 – 6
x = 4 ve Ç = {4} tür.

Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir.

2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür.
2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x – 2 )

Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım
Çözüm:

2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x – 2 )
2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4
2x + 13 = -2x + 29
2x + 2x = 29 – 13
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4 ve Ç = { 4 } olur.

3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun için, eşitliğin iki yanını ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür.

3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm
4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalım:

Çözüm:
Paydaları eşitlersek:

3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x – 10
4 ¯ 4
3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10
3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4
5x – 5x = -10 + 10
0.x = 0

Bu eşitlik bütün reel sayılar için geçerli olduğundan verilen denklemin çözüm kümesi Ç=R dır.

4. 5 sayısının, 2x – 6 = 3 denkleminin kökü olup olmadığını araştıralım:

Çözüm:
x = 5 için 2x – 6 = 3
2 . 5 – 6 = 3
10 – 6 = 3
4 ≪ 3 olur

Buna göre 5 sayısı 2x – 6 = 3 denkleminin çözüm kümesi değildir. Verilen bir sayının, verilen bir denklemin kökü olup olmadığını anlamak için verilen denklemdeki bilinmeyen sayı yerine yazılır. İşlemler yapılır.eğer eşitlik sağlanıyorsa bu sayı denklemin çözüm kümesi, sağlanamıyorsa çözüm kümesi değildir denir.

5. –5 + 6 _ 7 denklemini çözelim
3 ¯ 1

Çözüm:

–5 + 6 _ 7 (Önce paydaları eşitleyelim.)
3 ¯ 1
( 3 )

-5 + 6 _ 21 ( Çarpma kuralı )
³˙ 3 ¯ 3 ˙³

-5x + 6 = 21 (Toplama kuralı )
-5x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
-5x = 15

-5x _ 15 (Bölme kuralı )
5 ¯ 5

x = -3 tür. Ç = {-3}

6. 2.(5x – 6) + 2 = 30 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım

Çözüm:
Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayarak parantezi açalım.

2.(5x – 6) + 2 = 30 ise
(2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30
10x – 12 + 2 = 30
10x – 10 = 30 olur.

Şimdi ( -10) un toplama işlemine göre ters elemanı olan (+10) u eşitliğin her iki tarafına ekleyelim.

10x – 10= 30 ise
10x – 10 + (+10) = 30 + (+10)
10x + 0 = 40
10x = 40 10x _ 40
10 ¯ 10
x = 4 ve Ç= {4} olur.
7. 2x – 5 = 7 denklemini R de çözelim:

Çözüm:
Eşitliğin her iki tarafına, (-5) sayısının toplama işlemine göre tersi olan (+5) sayısını ekleyelim.

2x – 5 + 5 = 7 + 5

0

2x . 0 = +12
+2. x = 12 eşitliğinin her iki tarafını (+2) nin çarpma işlemine göre tersi olan 1 ile çarpalım:
2

1 6
2 . . 1 _ 12 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 6 bulunur.
Ç = 6 şeklinde çözüm kümesi yazılır.

8. 5x + 2 = 27 denklemini R de çözelim.

Çözüm:
Eşitliğin her iki yanına (+2) nin toplama işlemine göre tersi olan (-2) sayısını ekleyelim.

5x + 2 + (-2) = 27 + (-2)
0 25

5 . x = 25

Eşitliğin her iki yanını (+5) sayısının çarpma işlemine
göre tersi olan 1 sayısı ile çarpalım.
2

1 5
5 . x . 1 _ 25 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 5 bulunur.
Çözüm kümesi Ç = {5} olur.

Bu son örneği kısa yolla, aşağıdaki gibi yaparız:
5x + 2 = 27

toplanan

5x = 27 – 2

çıkan

( Eşitliğin bir tarafındaki toplanan terim, eşitliğin diğer tarafına çıkan olarak geçer. )

5 . x = 27

çarpan

x = 25 : 5

bölen

( Eşitliğin bir tarafındaki çarpan terim, eşitliğin diğer tarafına bölen olarak geçer.)

x = 5 bulunur.
Ç = {5} olur.

ÖRNEK UZAY ve ÖRNEK NOKTA

            Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay (E), bu kümenin her elemanına da “örnek nokta” denir.

ÖRNEK:

            Bir madeni para atıldığında örnek uzayın iki elemanı vardır.

E= {Yazı,Tura}={Y,T}

ÖRNEK:

            2 madeni para atılması deneyinde örnek uzay E={YY,YT,TY,TT}

UYARI

N tane madeni paranın havaya atılması (veya bir paranın n kez atılması) deneyinde  s(E) = 2.2…..2= 2ⁿ dir.

ÖRNEK:

            İçerisinde 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele üç top seçme deneyinde örnek uzayın eleman sayısını bulalım.

ÇÖZÜM

            Torbada: 4+3+2=9 top vardır. 9 toptan 3’ü seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı:

S(E)= C(9,3)  = 9.8.7   = 84 bulalım

               1.2.3

ÖRNEK:

            1,2,3,4,5 rakamları ile yazılabilecek üç basamaklı sayılar yazma deneyinde örnek uzayın eleman sayısı S(E) = 5.5.5 = 125 dir.

OLAY: Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.

KESİN OLAY: Olması kesin olan olaylara denir. Yani olay kümesi, örnek uzay kümesine eşit olan olaylardır.

            İMKANSIZ OLAY: Olması mümkün olmayan olaydır.

ÖRNEK:

1.  İki madeni para atılması deneyinde en az bir tura gelmesi olayı;

            A = {TT,TY,YT} olur.

2.      İki zarın havaya atılması deneyinde üste gelen sayıların

i)   Aynı olması olayı A olsun.

     A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

ii)  Toplamının 5 olması olayı B olsun

 B = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} dır.

iii)  Toplamının 14 olması imkansız olaydır.

   iv)  Birinin 7’den küçük, diğerinin 0’dan büyük olması olayı kesin olaydır.

OLASILIK FONKSİYONU

            E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi K olsun.

P:K          [0,1]  

A            P(A)    fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyor ise P fonksiyonuna “olasılık fonksiyonu” denir.

1)      0 ≤ P(A) ≤ 1

2)      P(Æ) = 0 (imkansız olay)

3)      P(E) = 1 (kesin olay)

4)                 P(A’) : A olayının olmama olasılığı ise ve

P(A) = 1-P(A’) dir.

EŞ  OLUMLU  ÖRNEK  UZAY

Yapılan bir deneyde bütün çıkabilenlerin olasılıkları eşit ise “eş olumlu örnek uzay” denir.

P(A) = s(A) = İstenen durumlar sayısı   dır.

             s(E)      Tüm durumlar sayısı

ÖRNEK:

i) Bir madeni para atılması deneyinde yazı gelmesi ile tura gelmesi olasılıkları              eşittir.      

            P(Y) = P(T) = 1  dir.

                                    2

ii) Bir zar atılması deneyinde 1 gelme olasılığı ile 2,3,4,5 ve 6 gelme olasılıkları eşittir.

AYRIK OLAYLAR

            Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya “ayrık olaylar” denir. A ve B ayrık iki olay ise A veya B den en az birinin ortaya çıkma olasılığı, bu iki olayın olasılıkları toplamına eşittir.

P(AÈB) = P(A) + P(B) dir.

ÖRNEK:

Bir zar atıldığında

            Tek sayı gelme olayı: A = (1,3,5)

            Çift sayı gelme olayı: B = (2,4,6)

            Asal sayı gelme olayı C = (2,3,5) olsun.

Buradan :

1)      A Ç B = (1,3,5) Ç (2,4,6) = Æ olduğundan A ve B ayrık olaylardır

2)      A Ç C = (1,3,5) Ç (2,3,5) = (3,5) olduğundan ayrık olaylar değildir.

NOT: A ve B ayrık olaylar değil ise

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.

ÖRNEK :

            Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktadır. Bu kutudan

a)      Çekilen bir topun siyah olma olasılığı :

P(S) = Siyah top sayısı  =   5  bulunur.

           Toplam top sayısı    9

b)      Çekilen iki topun ikisinin de beyaz olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: 4 beyaz toptan 2 tanesini çekmek s  4  = 6 dir.

                                                                                                       2

Tüm durumlar sayısı : Toplam 9 toptan 2 tanesini çekmek s(E) =  9  = 36 dir.  

                                                                                                                    2

Sonuç olarak : P(A) = s(A) = 6 = 1 dır.

                           S(E)   36   6

c)      Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: s(A) =  5  4   = 20 dır.

                                                    1  1

                                                                                                                                             P(A) = s(A) = 20 = 5 olur.

                       s(E)    36    9

d)      Çekilen iki toptan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olasılığını bulalım. Buradan sıralama verilmektedir. Birincinin siyah olma olasılığı = 5 dır. Kalan top

 9

      sayısı 9 – 1 = 8 olduğuna göre ikincinin beyaz olma olasılığı = 4 dir.

                                                                                                                    8

Sonuç olarak:

            P(BS) = 5  .  4  =  5

                           9     8     18  

ÖRNEK:

            İçinde 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan çekilen bilye tekrar torbaya atılmak üzere iki bilye çekiliyor.

a)      Çekilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı olma olasılığı

b)      Çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı

c)      Çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı

d)      Çekilen iki bilyeden birincisinin kırmızı ikincisinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

a)      P(KK) = 5 . 5  =  25 dır.

        8   8       64

b)  P(KS) + P(SK) =  6 . 4 + 4 . 6

                                  10 10  10  10

                                 = 48 = 12

100        25

c)  P(KK) + P(BB) =  6 . 6 +  4 . 4

 10 10   10 10

= 52 = 13

100        25

d)  P(KB) = 6 . 4 = 24 = 6

                   10 10  100   25

ÖRNEK:

            Bir torbada bulunan 6 beyaz 5 kırmızı ve 4 siyah bilye vardır. Torbadan rastgele  çekilen 3 bilyenin

a)      Üçününde beyaz olma olasılığı

b)      Üçününde aynı renkte olma olasılığı

c)      Üçününde farklı renkte olma olasılığı

d)      1. nin beyaz, 2. nin kırmızı ve 3. nün siyah olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

            6+5+4 = 15 bilyeden 3’ü C(15,3) = 455 değişik şekilde seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 455’tir.

a)      Seçilen üç bilyenin üçünün de beyaz olma olayı A olsun.

6 beyaz bilyeden 3’ü C(6,3) = 20 değişik şekilde seçileceğinden s(A) = 20 dir.

P(A) =  s(A)  =  20  =  4   bulunur.

                        S(E)     455    91

b)      Üçününde aynı renkte olma olayı B olsun.

6 beyazdan, 3 beyaz:  C(6,3) = 20

5 kırmızıdan, 3 kırmızı: C(5,3) =10

4 siyahtan, 3 siyah: C(4,3) = 4 değişik şekilde seçileceğinden, aynı renkli 3 bilye 20+10+4 = 34 farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre

P(B) =  s(B)  =  34

                          S(E)    455

c)      Seçilen her 3 bilyeninde farklı renklerde olma olayı C olsun.

6 beyazdan biri C(6,1)

5 kırmızıdan biri C(5,1)                           s(C) = C(6,1).C(5,1).C(4,1)

4 siyahtan biri C(4,1)                                 =6.5.4 = 120

                                                                                       ise s(C)  =  120  =  24

                                                                                             s(E)      455      91

d)      Bu soruda sıralama vardır.

Birincinin beyaz olma olasılığı : 6

                                                       15

İkincinin kırmızı olma olasılığı : 5

                                                      14

Üçüncünün siyah olma olasılığı : 4

                                                         13

P(D) = 6 .  5 .  4  =  4

           15  14  13     91

ÖRNEK:                                                                                  

3 kadın ve 4 erkekten oluşan bir komitenin üyelerinin adları birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele çekilen 3 kartın birinde bir kadının diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Torbadan 3 kart çekildiğinde, çekilenlerin kümesi örnek uzay E ise

s(E) =C(7,3) = 35 tir.

            Çekilen 3 karttan birinde bir kadın diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olayı A olsun.

      S(A) = s(A)  =  18  bulunur.  

                  s(E)       35            

ÖRNEK:

3 madeni para atılıyor. Bu atışta en az bir tura gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

E = { YYY,YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}

Ve  en az bir tura gelmesi

A = {YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}

P(A) = 7 dir.

            8

Veya : En az bir tura gelmesini hiç yazı gelmemesi şeklinde de ifade edebiliriz.

P(A) = 1 –  P(YYY) = 1 – 1 = 7 dır.

8         8

ÖRNEK:

A = {1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile farklı 3 basamaklı sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp torbaya konuyor.

Torbadan rastgele çekilen bir karttaki sayının tek olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Rakamları farklı 3 basamaklı tüm sayılar

s(E) =   5   .   4  .   3    =  60 tanedir.

            Bunlardan tek sayı olanları

s(A) =   3       4      3    =  36 tanedir.

            P(A) = s(A)  =  36  = 3  dir.

                        s(E)       60     5

ÖRNEK:

            Bir sınava giren A,B,C isimlerinden oluşan 3 öğrenciden A’nın sınavı kazanma olasılığı B’nin kazanma olasılığının 2 katı, B’nin sınavı kazanma olasılığı ise C’nin kazanma olasılığının 2 katı olduğuna göre A’nın sınavı kazanma olasılığı

                                                     3

nedir?

ÇÖZÜM:

P(A) = 2P(B) ve P(B) =  2 . P(C) dir

                                           3

 2.P(B) + P(B) + 3P(B) = 1  ise P(B) = 2

                                 2                    9

ve P(A) = 2P(B) = 2.2 = 4 bulunur.

                                    9     9

KOŞULLU OLASILIK

A,B;E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir ve

P(A / B) ile gösterilir.

P(A / B) =  P(A Ç B) ,  P(B) ¹ Æ

                        P(B)

ÖRNEK:

            Bir çift zarın birlikte atılması deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği bilindiğine göre, toplamının 10’dan büyük olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

İki zarın atılması deneyinde örnek uzay;

E = {(1,1), (1,2),… (6,5), (6,6)} yani

s(E) = 36 dır.

B = {(5,1), (1,5), (5,2), (2,5), … (5,6)} yani

s(B) = 11 dir.

A = {(5,6),(6,5)} ise s(A) = 2 ve A Ç B = {(5,6),(6,5)}  Buna göre,

                                       s(A Ç B)

                                          s(E)

P(A / B) = P(A Ç B) =                    = s(A Ç B)  = 2

                        P(B)            s(B)                  s(B)         11

                                          s(E)

ÖRNEK:

1’den 10’a kadar (10 top) numaralandırılmış, aynı özellikteki toplar arasından rastgele çekilen bir topun asal sayı olduğu bilindiğine göre, çift sayı olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ise s(E) = 10

B = {2,3,5,7} ise s(B) = 4

A = {2} ise s(A) = 1

Buna göre;

                                       s(A Ç B)

                                          s(E)

P(A / B) = P(A Ç B) =                    = 1

                        P(B)            s(B)              4     

                                          s(E)

SONSUZ ÖRNEK UZAYLI OLAYLAR:

            Örnek uzay E, E = {e₁,e₂,e₃,….} gibi sayılabilir sonsuzlukta örnek uzay olsun. Aynı şekilde olay A = {a₁,a₂,a₃,…} gibi sayılabilir sonsuzlukta bir olay ise,

P(A) = s(A)  dir.         

            S(E)

Örnek uzay bir şeklin alanı, uzunluğu gibi sayılabilir sonsuzlukta ifadelerdir. Aynı şekilde olay kümesi de bu örnek uzayın herhangi bir kesiti ise olasılık yukarıda ifade edildiği gibi,

P(A) = A nın uzunluğu  ya da

            E nin uzunluğu

P(A) = A nın alanı  biçiminde hesaplanır.

             E nin alanı

1. TANIM

a R⁺ -{1} ve  x R⁺ olmak üzere, a^y = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

a R⁺-{1}, x R⁺ ve y R olmak üzere,

ay=x Û y=log_a x    tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:

1) log₂ 8 = y Þ 8= 2^y Þ y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3 Þ 64 = a³ Þ a = 4 tür.

3) log₃ x = -2 Þ x = 3^-2 Þ x =  dur.

4) log_a a = x Þ a = a^x Þ x = 1 dir.

5) log_a 1 = n Þ 1 = aⁿ Þ n = 0 dır.

6) log₅ (-25) v= m Þ -25 = 5^m Þ m R dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 Þ log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1 Þ log₂ x = 3¹ Þ x = 2³ = 8 dir.

Örnek:

Log₃ (a³.b.c) = 5      log₃  = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log₃(a³.b.c) = 5 Þ  a3.b.c = 3⁵

log₃ =1    Þ      =3¹

                             x   

                             a3.b3 = 3⁶

                             a.b = 3²

                             a.b = 9 dur.

Örnek:

log ₃ a = 3 ve log b = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log ₃ a = 3 Þ a = ³ Þ a = 2 dir.

log b = 4   Þ b = ⁴ Þ b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log₁₀ 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = log_e x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:

Log_e e = ln e = 1 dir.

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,y R⁺ ve a  R⁺ – {1} olmak üzere,

1) log_a (x.y) = log_a x + log_a y

2) log_a  = log_a x – log_a y

3) log  x^m = log_a x

4) log_a x = log_a y Þ x = y                           dir.

Örnek:

1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1

2) log 300 – log 3 = log  = log 100 = log (10²) = 2. log 10 =2

3) log₂₅ 125 = log 5³ =  log₅ 5 =   

Örnek:

log (2x-y) = log x + log y  olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log (2x-y) = log x + log y Þ log (2x-y) = log (x.y)

Þ 2x – y = x.y

Þ 2x = x.y +y 

Þ 2x = y. (x+1)

Þ y =  dir.

Örnek:

log (a.b) = 3

log  = 1   olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm:

log (a.b) = 3 Þ log a + log b = 3

log  = 1 Þ log a – log b = 1

                    + 

                          2 log a = 4

                             log a = 2

                             a= 10₂ = 100 dür.     

Örnek:

log₂   işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

log₂  = log₂    =log₂  = log₂ 2  =  tür.

Örnek:

a =  olduğuna göre, log_b  değerini bulalım.

Çözüm:

a = Þ log_b  = log_b  = log_b  = log_b b  =  tür.

Örnek:

log 5 = a,  log 3 = b, log 2 = c    olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini      

                                                    bulalım.

Çözüm:

log (22,5) = log  = log  = log 5 + log 3² – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2

= a + 2b – c  dir.

Örnek:

Log₅ x² = 6 + log ₅        olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ x² = 6 + log ₅  Þ 2. log₅ x = 6 + log₅ x^-1

Þ 2. log₅ x = 6 – log₅ x     

Þ 3. log₅ x = 6

Þ log₅ x = 2

Þ x = 5² = 25   tir.

Göttingen’de Gauss’un daha sonra Berlin’de Jakobi  ve Steiner’in öğrencisi oldu. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar kuramı tezi bu kuramı tümüyle altüst etti. Bir noktada, bu noktaya ulaşan yola göre çok sayıda değer alan diferansiyelleşebilir fonksiyonlardan yola çıkarak ve geçiş çizgileriyle bağlı, bindirilmiş düzlemlerden, yapraklardan oluşan bir Riemann yüzeyi üzerinde değişkeni dolaştırarak bu fonksiyonları bir biçimli hale getirdi. Fonksiyonlar kuramıyla yüzeyler kuramı arasındaki bağları inceleyerek topolojinin temellerini attı; Riemann’ın bu bilim dalının yaratıcısı olduğunu söyleyebiliriz.1854′te bir fonksiyonun trigonometrik serilerle gösterilmesini konu alan doçentlik tezinde, türevleşmeyen sürekli bir fonksiyon örneği verdi.Aynı incelemesinde Cauchy’nin kuramından daha genel bir integralleme kuramı geliştirdi; bu kuram, süreksizlik bakımından sayısız bir sonsuzluğu olan sınırlı fonksiyonlara uygulanabiliyordu. Oysa Cauchy’nin kuramı, yalnızca parça parça sürekli fonksiyonlar için geçerliydi. Sayılar kuramında zeka fonksiyonunun, asal sayıların aritmetik kuramı için önemini gösterdi. Riemann eğriliği pozitif olan katlı uzaylar üzerinde, koşutsuz, öklidçi olmayan bir geometri geliştirdi.

Cahit ARF
Türk matematikçi (1910-1997

1910 yılında Selanik’te doğdu. Yüksek öğrenimini Fransa’da Ecole Nor-male Superieure’de tamamladı (1932). Bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yaptıktan sonra İstanbul Üniversitesi Fen Fakül- tesi’nde doçent adayı olarak çalıştı. Doktorasını yapmak için Almanya’ya gitti. 1938 yılında Göttingen Üniversitesi’nde doktorasını bitirdi. Yurda dön-düğünde İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde profesör ve ordinaryus profersörlüğe yükseldi. Burada 1962 yılına kadar çalıştı. Daha sonra Robert Koleji’nde Matematik dersleri vermeye başladı. 1964 yılında Türkiye Bilimsel  ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bilim kolu başkanı oldu.   Daha sonra gittiği Amerika Birleşik Devletleri’nde araştırma ve incelemelerde bulundu; Kalifor-niya Üniversitesi’nde konuk öğretim üyesi olrak görev yaptı. 1967 yılında yurda dönüşünde Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nde öğretim üyeliğine getirildi. 1980 yılında emekli oldu. Emekliye ay-rıldıktan sonra TÜBİTAK’a bağlı Gebze Araştırma Merkezi’nde görev aldı. 1985 ve 1989 yılları arasında Türk Matematik Derneği başkanlığını yaptı.   Arf İnönü Armağanı’nı (1948) ve TÜBİTAK Bilim Ödülü’nü kazandı (1974). Cebir ve Sayılar Teori-si üzerine uluslararası bir sempozyum 1990′da 3 ve 7 Eylül tarihleri arasında Arf’in onuruna Siliv-ri’de gerçekleştirilmiştir. Halkalar ve Geometri üzerine ilk konferanslarda 1984′te İstanbul’da yapılmıştır. Arf, matematikte geometri kavramı üzerine bir makale sunmuştur. Cahit Arf 1997 yılının Aralık ayında bir kalp rahatsızlığı nedeniyle aramızdan ayrıldı…

Ali Kuşçu
Türk matematikçi
(14??-1474)

Türk-İslam Dünyası astronomi ve matematik alimleri arasında, ortaya koy-duğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu, Osmanlı Türkleri’nde, astronominin önde gelen bilgini sayılır. “Batı ve Doğu Bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna bir alim olarak tanır.” Öyle ki; müsteşrik W .Barlhold, Ali Kuşcu’yu “On Beşinci Yüzyıl Batlamyos’u” olarak adlan-dırmıştır. Babası, Uluğ Bey’in kuşcu başısı (doğancıbaşı) idi. Kuşçu soyadı babasından gelmektedir. Asıl adı Ali Bin Muhammet’tir. Doğum yeri Mave-raünnehir bölgesi olduğu ileri sürülmüşse de, adı geçen bölgenin hangi şehrinde ve hangi yılda doğduğu kesinlikle bilinmektedir.Ancak doğum şehri Semerkant, doğum yılının ise 15. yüzyılın ilk dörtte biri içerisinde olduğu kabul edilmektedir. 16 Aralık 1474 (h. 7 Şaban 879) tarihinde İstanbul’da ölmüş olup, mezarı E-yüp Sultan Türbesi hareminde bulunmaktadır. Ölüm tarihi; torunu meşhur astronom Mirim Çele-bi’nin (ölümü, Edirne 1525) Fransça yazdığı bir eserin incelenmesi sonucu anlaşılmıştır. Mezar yerinin 1819 yılına kadar belirli olduğu ve hüsn-ü muhafazasının yapıldığı; ancak 1819 yılından sonra, Ali Kuşcu’ya ait mezarın yerine, zamanının nüfuzlu bir devlet adamının mezar taşının konmuş olduğu anlaşılmaktadır.

Uluğ Bey’in Horasan ve Maveraünnehir hükümdarlığı sırasın-da, Semerkant’ta ilk ve dini öğrenimini tamamlamıştır. Küçük yaşta iken astronomi ve matema-tiğe geniş ilgi duymuştur.Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey , Bursalı Kadızade Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu’in al-Din el-Kaşi’den astronomi ve matematik dersi almıştır. Önce,Uluğ Bey, tarafından 1421 yılında kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü, Gıyaseddün Cemşid’in, kısa süre sonra da Rasathanenin ikinci müdürü Kadızade Rumi’nin ölümü üzerine, Uluğ Bey Rasathane-ye müdür olarak Ali Kuşcu’yu görevlendirmiştir. Uluğ Bey Ziyc’inin tamamlanmasında büyük e-meği geçmiştir. Nasirüddün Tusi’nin Tecrid-ül Kelam adlı eserine yazdığı şerh, bu konuda da gayret ve başarısının en güzel delilini teşkil etmektedir. Ebu Said Han’a ithaf edilen bu şerh, Ali Kuşcu’nun ilk şöhretinin duyulmasına neden olmuştur. Kaynakların değerlendirilmesi sonucu anlaşılmaktadır ki; Ali Kuşcu yalnız telih eseriyle değil, talim ve irşadıyle devrini aşan bir bilgin olarak tanınmaktadır. Öyle ki; telif eserlerinin dışında, torunu Mirim Çelebi, Hoca Sinan Paşa ve Molla Lütfi (Sarı Lütfi) gibi astronomların da yetişmesine sebep olmuştur. Bu bilginlerle be-raber, Ali Kuşcu’yu eski astronominin en büyük bilginlerinden birisi olarak belirtebiliriz. 
T h a l e s

Büyük bir gezgindi; Babil ve Mısır’dan cebir ve geometrinin öğelerini getirdiği sanılmaktadır. Thales açıları büyüklük olarak değil de, belli bir biçimi olan şekiller olarak ele alıyordu; açıların, ait oldukları üçgenlerle ilişkileri üstüne bazı bilgiler ve ters açıların eşit olduğuna ilişkin açıklama o na mal edilmektedir. Bir cismin yükseklğini, gölgesinden yararlanarak belirlediği ve bir geminin kıyıya uzaklığının nasıl ölçülebileceğini gösterdiği sanılmaktadır. Ününü, büyük olasılıkla 585′teki Güneş tutulmasını öncedenhaber vermesine borçludur. Thales’e büyük ün kazandıran bu  olay Babiller tarafından bilinmekte idi. Burada önemli olan, tutulma o ayının kendisi değil, haber verenin bu bilgiyi aldığı kaynaktır. Gerçekte: Thales’ in bu bilgiyi eski Mısır ve Mezopotamya’dan elde ettiğinde bütün kaynaklar birleşmektedir.

Matematikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardı. Bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümü, cisimlerin gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabı, üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi.Thales’e atfedilen ve bilimlerde kurucu unvanını almasına sebep olan bu bilgiler, Thales’ten 2000 yıl kadar önceleri Eski Mısırlılar ve Mezopotamya’lılar tarafından bilinmekte idi. Thales, eski Mısır ve Babil’e yaptığı birçok seyahatleri sırasında, buralarda eski dönemlerin bilim ve teknik lerini dönemin bilginlerinden (kahin, katip, rahip) öğrenmiştir. Bu ilk medeniyetlerin, es-ki  imparatorluk dönemlerinden öğrenmiş ve bu suretle Grek felsefesinin, geometri ve  ast-ronomisinin gelişmesine ilk çıkış noktası olarak temel kavramlar edinmiştir. Ülkemizde, diğer antik dönem bilginleri ne olduğu gibi Thales’ e mümtaziyet ve ebedilik verilmesine sebep, Batılı kaynakların  yayınlarıdır. Değişik bir ifade ile bilgilerimizin noksan olduğu dönemlerin damgasını taşır. Bize göre:Thales’in bilim tarihindeki yeri ile ilgili gerçekleri şu şekilde özetlemek mümkündür. Thales, ilk medeniyetlerin besiği olan eski Mısır bölgesini uzun yıllar dolaşmıştır. Kaynaklardan bazıları  Thales’in  Babil bölgesine kadar gittiğini yazar. Thales eski Mısır ve Mezopotamya’ya yaptığı bu geziler sırasında matematik, astronomi ve fiziğin temel bilgilerini öğrenerek Atina’ya döndü. Bugün için “saçma” olan şu görüşler de Thales’e aittir: “Yeryüzü, suyun üstündedir ve suyun üstünde tahta parçası gibi durur, dalgalanır.”, “Kehribar da cisimleri çektiği için ruha sahiptir.”

P a s c a l
Fransız matematikçi, fizikçi ve yazar (1623-1662)

Daha 16 yaşındayken konikler üzerine bir inceleme yazdı. 1642′de bir hesap makinası icat etti. Matematikle uğraşan babasıyla birlikte Paris Mersenne Akademisi’ne kabul edildi.
Pascala göre rastlantı geometriye dökülebilir. O’nun olasılıklar hesabına yaklaşımı, Pascal üçgeni denen aritmetik üçgene dayanır. Pascal daha sonra sikloit üzerine incelemelere baş-ladı  ve “Traité des sinus du quart du cercle” ( Çeyrek çemberin sinüleri üzerine inceleme) adlı yapıtında Leibniz ‘in de yararlanacağı karakteristik üçgeni buldu… 1653′ten itibaren ma-tematik ve fizik üzerine çalışarak sıvıların kararsızlığı üzerine bir kitapçık yazar. Bu kitapçıkta Pascal’ın basınç kanunu açıklanır. Kendisi binom üçgeni üzerinde çalışan ilk matematikçi olmasa da bu konuda çalışması değişik gelişmelere ışık tutmuştur…

E l – H a r i z m i
Özbekistan Doğumlu Matematikçi

Ebu Abdullah Muhammed bin Musa   El-Harezmi, Özbekistan’da doğdu. Doğum tarihi kesin olarak bilinmemektedir. Hayatı hakında çok fazla bilgi bulunmamaktadır. Batı bilim dünya-sında en sürekli, en derin etkiler bırakmış matematikçi olarak tanınmıştır. El Harizmi’nin en çok  ilgi gören eserleri Kitabü’l muhtasar fi’l Cebr ve’l Mukabele ve Kitabü’l muhtasar fi Hisabü’l Hindi dir.
Harizmi, doğu bilim dünyasında cebir ilmine ilişkin ilk eser yazan kişidir. Bu bilim dalı daha önce az çok işlenmiş ve kısmen geometriden ayrı bir ilim dalı olmaya başlamıştı. Birinci de-receden denklemler çözülebiliyordu, hatta hesaplama metodlarıyla ikinci dereceden denk-lemlere çözüm bulunuyordu. Fakat henüz ikinci derece denklemlerin köklerini bulma yönte-mi geliştirilmemişti.İşte El Harizmi’nin El Cebr ve’l Mukabele kitabı ikinci dereceden denklemlerin çözüm yolunu sistemli olarak işleyen ilk eser niteliğindedir ve 600 yıldan uzun bir süre (15. yüzyıla kadar) el üstünde tutulmasının nedeni de budur.

El Harizmi, adı geçen eserinde denklemleri iki grupta toplamaktadır:
Birinci grupta, çözümleri derhal bulunabilen bizim bugünkü sembollerle ifade edersek;
x2 = ax  ,  x2 = n  ,  ax = n
şeklindeki denklemlerdir.Bunların çözüm kurallarını gösterdiktren sonra El- Harizmi ikinci denklem grubuna geçer
x2 + ax = n  ,  x2 +n  = ax  ,  ax + n = x2
Ve bunların çözümünü bugün bildiğimiz metodla yapar. Bu kitapta ayrıca, ikinci dereceden denklemlerin hangi durumlarda iki kökünün , hangi du-rumlarda çift kökünün olacağını ve hangi durumlarda denklemin reel kökü olamayacağını çok açık bir şekilde belirtmiştir. Bu kuralları bir öğretmen yeteneğiyle ortaya koyduktan son-ra El Harizmi , bu kuralları geometrik olarak ispatlamıştır.Harizmi’nin bu eseri matematik tarihi bakımından çok önemli gelişmelere dayanak ve baş-langıç olmuş 600 yıldan biraz daha fazla (15. y.y. sonuna kadar) matematik öğretimi için te-mel sayılmıştır. Eser, Endülüs medreseleri aracılığıyla Batı’ya geçmiştir. İlk Latince çevirisi 1183′te yapılmıştır.  Roger Bacon, Fibonacci gibi bilim adamaları eseri hayranlıkla incele-mişler, ve kendi öğretilerinde bu eserden faydalanmışlardır. 1486 yılında Leipzig Üniversite-si’nde okutulmaya başlanmıştır. 1598 -1599 yıllarında hala cebir biliminde tek kaynak Hariz-mi’nin bu eseridir.El Harizmi matematiğin yanısıra astronomi ve coğrafya ilimlerinde de eserler vermiştir. Ast-ronomik cetvellerle ilgili kitaplar yazmış ve bu eserler 12. y.y. da Latince’ ye çevrilmiştir. Bu-nun yanısıra Ptolemy’nin coğrafya kitabını düzeltmelerle yeniden yazmış, 70 tane bilim ada-mıyla birlikte çalışarak 830 yılında bir dünya haritası çizmiştir. Dünyanın çevresini ve hacmini hesaplama çalışmalarında yer almıştır. Güneş saatleri, usturlaplar ve saatler üzerine yazıl-mış eserleri de vardır.

C a n t o r
Alman matematikçi (1845 – 1918)

Kümeler kuramının kurucusu Kummer, Weierstrass ve Kronecker’in öğren-cisidir. Öğrenimini tamamladıktan sonra 1879 yılında Halle Üniversitesi’n-de profesör oldu. Weierstrass’ın etkisi gerçek sayıların oransal sayılarla tamlanarak elde edilen Cantor kuruluşuda görülür (1872). Oransal sayıları saymanın (yani bu sayılarla doğal sayılar arasında birebir örten bir uygu-lama kurmanın) olanaklı olduğunu bildiğinden, gerçek sayıların sayılıp sayılamayacağı sorusu üzerinde çalıştı ve olumsuz sonuca vardı (1873). Daha sonra boyut problemiyle uğraştı ve üç yıl boyunca bir kare ile bir doğru parçası arasında birebir ve örten bir uygulama kurmanın olanaksızlığını kanıtlamaya çalıştı; ancak böyle bir uygulamanın bulun-duğu sonucuna ulaştı.
Sonsuz kümeleri sınıflandırmaya çalıştı ve yalnızca iki sınıf bulunduğu sonucuna vardı: sayı-labilir kümeler sınıfı (pozitif tamsayılar kümesiyle eşkuvvetli) pozitif gerçek sayılarla eşkuv-vetli kümeler sınıfı. Cantor sürekliden sayılabilire geçişi elde etmeye çalışırken, topolojik kavramlara bağlı küme kavramlarını buldu ve doğrunun topolojisini inceledi. Kümeler kura-mını, sayılar kuramın bir genişlemesi biçiminde kabul ederek, sonluötesi kardinal sayılar ile sıra sayılarını ortaya koydu ve bunlardan bir aritmetik kurdu. Ne var ki, kuramına karşı çıkıl-ması ve süreklinin varsayımını belirleme çabalarının boşa çıkması Cantor’un sinirlerini yıprattı ve 1884′e doğru bir akıl hastalığının ilk belirtileri görüldü. Cantor bir psikiyatri kliniğinde öldü. 
A b e l
Norveçli Matematikçi (1802-1829)

O dönemler, genç bir matematikçinin şöhreti yakalayabilmesi için tek çaresi, Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirini ka-zanabilmek olduğundan, Abel de Paris’te zamanın büyük isimlerinden Ca-uchy’ye bir çalışmasını takdim eder.  Oysa Cauchy kendi ünüyle meşgul, bu kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder.  Abel de Berlin’de tanıştığı Crelle adlı bir matematikçinin teklifine uyarak o-nun yeni çıkaracağı bir matematik dergisine makale göndermeye başlar.
Bugün Crelle Dergisi takma adıyla bilinen bu çek prestijli derginin ilk sayısında altı makale ya-yınlar ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel’in matematiğe katkısı, eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir.  Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hala bilinmemekle birlikte, altlarında yatan temel kavramların ne olduğu Abel’in ve çağdaşlarının çalışmalarıyla aydınlanmıştır. Abel’in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece po-linom denklemlerinin çözümleriyle ilgilidir.  Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerinin çö-zümü yıllardır biliniyordu.  Üçüncü derece polinom denkleminin çözümünü,  15. Yüzyılda İtalyan matematikçi Cardano, dördüncü derece polinom denklemin çözümünü de Cardano’nun arka-daşı Ferrari, yine katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. 

İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç almadan uğraşmışlardır.  İşte Abel burada tarih sahnesine çıktı.  Abel, beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi.   Bazı özel beşinci derece denklemlerin çözümünün bulunduğu halde, her denkleme aynı şekilde uygulandığında, bize çözümü verecek bir metodun olmadığını ispatladı. 
Abel, matematikte elde ettiği parlak sonuçlara rağmen hayatı boyunca doğru dürüst bir iş bile bulamadı.  Matematikçi olarak kendisini Avrupa’daki matematik çevrelerine bir türlü kabul et-tiremedi.  Sonunda 26 yaşında, yokluk içinde veremden öldü.  Ölümünden iki gün sonra adına bir mektup geldi. Berlin Üniversitesi’nden gönderilmiş bir mektup, Abel’in ölümünden habersiz, genç matematikçiye çalışmalarının dikkat çektiğini ve kendisine üniversitede iş teklif ettiklerini bildiriyordu.  Öldükten sonra anlaşılma olgusunun bu denli tez gerçekleştiği bu denli tez gerçekleştiği bir daha görülmedi.
Ö m e r   H a y y a m
İranlı Matematikçi
(1048-1131)
 Asıl adı Giyaseddin Ebu’l Feth Bin İbrahim El Hayyam’ dır. 18 Mayıs 1048′-de İranin Nişabur kentinde doğan Ömer Hayyam bir çadırcının oğluydu. Çadırcı anlamına gelen soyadını babasının mesleğinden almıştır.Fakat o soyisminin çok ötesinde işlere imza atmıştır.Daha yaşadığı dönemde İbn-i Sina’dan sonra Doğu’nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul ediliyor-du. Tıp,  fizik, astronomi, cebir, geometri ve yüksek matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Ömer  Hayyam için zamanın bütün bilgilerini bildiği söylenirdi. O herkesten farklı olarak yaptığı çalışmaların çoğunu kaleme almadı, oysa O is-mini çokça duyduğumuz teo-remlerin isimsiz kahramanıdır. Elde bulunan ender kayıtlara da-yanılarak Ömer Hayyam’ın çalışmaları şöyle sıralanabilir:
Yazdığı bilimsel içerikli kitaplar arasında Cebir ve Geometri Üzerine, Fiziksel Bilimler Alanın-da Bir Özet, Varlıkla İlgili Bilgi Özeti, Oluş ve Görüşler, Bilgelikler Ölçüsü, Akıllar Bahçesi yer alır. Enbüyük eseri Cebir Risalesi’dir. On bölümden oluşan bu kitabın dört bölümünde kübik denklemleri  incelemiş ve bu denklemleri sınıflandırmıştır. Matematik tarihinde ilk kez bu sı-nıflandırmayı yapan kişidir. O cebiri, sayısal ve geometrik bilinmeyenlerin belirlenmesini a-maçlayan bilim olarak tanımlardı. Matematik bilgisi ve yeteneği zamanın çok ötesinde olan Ömer Hayyam  denklemlerle  ilgili başarılı çalışmalar yapmıştır. Nitekim, Hayyam 13 farklı 3. dereceden denklem tanımlamıştır. Denklemleri çoğunlukla geometrik metod kullanarak çözmüştür ve bu çözümler zekice seçilmiş konikler üzerine dayandırılmıştır. Bu kitabında iki koniğin arakesitini kullanarak 3. dereceden her denklem tipi için köklerin bir geometrik çizi-mi bulunduğunu belirtir ve bu köklerin varlık koşullarını tartışır.

Bunun yanısıra Hayyam, binom açılımını da bulmuştur. Binom teoerimini ve bu  açılımdaki kat-sayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. (Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında  bir Hayyam üçgenidir).Öğrenimi tamamlayan Ömer Hayyam kendisine bugünlere kadar uzana-cak bir ün kazandıran Cebir Risaliyesi’ni ve Rubaiyat’ı Semerkant’ta kaleme almıştır. Dönemin üç ünlü ismi Nizamülmülk, Hasan Sabbah ve Ömer Hayyam bu şehirde bir araya gelmiştir. Dönemin hakanı Melikşah, adı devlet düzeni anlamına gelen ve bu ada yakışır yaşayan veziri Nizamül-mülk’e çok güvenirdi. Ömer Hayyam ile ilk kez Semerkant’ta tanışan Nizam onu İsfa-han’a davet eder. Orada buluştuklarında O’na devlet hülyasından bahseder ve bu büyük ha-yalinin gerçekleşmesi için  Hayyam’dan yardım ister. Fakat Hayyam devlet işlerine karışmak istemez ve teklifini geri çevirir.4 Aralık 1131′de doğduğu yer olan Nişabur’ da fani dünyaya veda eder..
P i s a g o r
Yunanlı matematikçi (M.Ö. 570-M.Ö. 480)

Güney İtalya’da ve ardından Yunanistan’da büyük etki uyandıran bir okulun kurucusudur. Limnili bir ailenin çocuğuydu, Polykrates’in tiranlığı yüzünden 530′a doğru Kroton’a göç et-mek zorunda kaldı ve orada çevresine birçok öğrenci topladı. “Pythagorasçılar” bilimsel, fel-sefi, siyasal ve dinsel bir topluluk oluşturdular. Bu topluluk içinde matematik, gökbilim, müzik-bilim, fizyoloji ve tıp inceleniyor, nesnelerin ilkesi sayılara bağlanıyor ve her alanda evrensel bir uyum aranıyordu. Topluluk, kendine özgü ve yoğun bir dinsel yaşamın merkeziydi. Pytha-gorasçı aritmetik, aynı birim kümeleriyle özdeşleştirilen ve noktaların bir araya gelmesiyle simgelenen tamsayılarla sınırlıdır. Bu simgesel sayılar, üçgen, dörtgen, beşgen vb. sayılar ve kendilerine denk düşen geometrik dağılımın biçimine göre çokdüzlemli sayılar olarak sı-nıflandırılıyorlardı. Aritmetrikleri görseldi, şu anlamda ki sayıların biçimi, özellikleri konusunda bilgi veriyordu. M.Ö. V. yy’da Pythagorasçılar, Öklid’in genel bir kuramını ortaya koyduğu yetkin sayılar (çarpanlarının toplamına eşit olan sayılar, öreneğin 6 ve 28) ve dost sayılar (bi-rinin çarpanlarının toplamı ötekine eşit olan sayı çiftleri, örneğin 284 ve 220) gibi özel sayı tip-lerini incelediler.

Proklos, a2 + b2 = c2 eşitliğini sağlayarak Pythagorasçı üçlüler (a,b,c) oluşturrmak olanağı veren formülü Pythagoras’a mal etti. Pythagorasçılar ayrıca a – b = b – c gibi aritmetik, a : b = b :c gibi geometrik, (a – b) : a= (b – c) : c gibi armonik ortalamaları inceleyip, tamsayılarla sınırlı bir oranlar kuramını da geliştirdiler. Bir karenin köşegen ve kenarının eşölçeksizliğinin, yani uzunluklarının ortak bir ölçünün tam katlarıyla ifade edilememesinin keşfi, genellikle onlara atfedilir. Bunun, Pythagoras’tan esinlendiği söylenir. Oysa bu keşif, herşey sayıdır önerisinde ileri sürüldüğü gibi, dünyanın tamsayılara uygunluğu düşüncesine son verdiği için derin bir bunalıma yol açtı. Gerçekten de Pythagorasçı doğa görüşü herşeye bir tam sayı atfediyor-du. Bu görüş, aynı sayıları düzenleyerek çeşitli büyüklüklerle, çeşitli ortamlarda aynı müzik armonilerini ve aynı geometrik biçimler ortaya konulabileceği gözlemine dayanıyordu. Örne-ğin, kenarları 3:4:5 ile orantılı her üç-gen, dik üçgendi (Pythagoras teoremi). Ayrıca Pythago-ras’ın daha önce Babylonialılar’ın bildik-leri bu teoremin bir tanıtlamasını yapıp yapmadığı da bilinmemektedir.

Samos’lu Pisagor’un, Milattan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor. Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir. Bugünkü adıyla bilinen Sisam Adasında 596 veya 582 yılında doğmuştur. Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır. Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir. Fakat, önceleri doğduğu yer olan Sisam Adasında okuduğu, daha sonraları Mısır ve Babil’e giderek oralarda bilgilerini ilerlettiği ve ülkesine geri dönerek dersler verdiği söylenir. Kendisinden önceki bilgilerin tümünü öğrenmiş ve derlemiştir. Kendisi, bir Yunan filozofu ve matematikçisidir. Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, İtalya’nın güneyindeki Kroton şehrine gelmiş ve ünlü okulunu burada açarak şöhrete kavuşmuştur. Yarı söylentilere göre felsefe okulunun kurucusudur. Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir. Yine söylentilere göre, Pisagor’un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve ışıkları hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor’a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında M.Ö. 500 yıllarında ölmüşlerdir. Bu nedenle Pisagor ve yaptıkları hakkında az bilgiler bize kadar gelmiştir. Pisagor’un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir.

Pisagor, M.Ö. altıncı yüzyılda, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman oldukça sert olan bir hareketle karşılaşmıştır. O tarihlerde kağıt olmadığı için, bu buluşlarını nasıl elde edildiği, yine bu devirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor’a ait olduğu kesin olarak bilinmemektedir. Hatta, okuldaki öğretim araçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söylenir. Bu koşullar altındaki ilmi gerçeklerin tümü o zaman yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kaybolup gitmiştir. Bu nedenle, Pisagor’un okulu ve öğrencileri ile birlikte yanmalarından, eser bırakıp bırakmadığı da kesin olarak belli değildir. Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir. Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor’dur. Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor’dur. Çarpma cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapıldığı söylenir. En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir. Yaşayış ve inanışı, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir.

Müzik üzerine de çalışmaları vardır. Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlı olduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorumlamasını düşünmüştür. Bir yerde bugünkü gerçel ekseni söylemeden düşünmüştür. Bu da, bugünkü kullandığımız gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasından başka bir şey değildir. Fakat, eski Yunan matematikçileri gerçel sayıları bilmiyorlardı. O zamanlar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanıyorlardı. Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu birime oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçüyorlardı. Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun keşfi 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafından olmuştur. Bu sonuçta, halen değerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır. Pisagor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan biridir. Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğu göz önüne alınırsa, bundan daha büyük bir buluş düşünülemez. Pisagor’un adını 2600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur teoremi şudur: Bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan karenin alanına eşittir.

Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun da varolduğunu gösterir. Örneğin, yukarıdaki şekilde olduğu gibi, dik kenarları birer birim olan dik üçgeni göz önüne alalım. Geometrik olarak, bu özel hal için, Pisagor teoremi gerçeklenir. Yani, büyük karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamıdır. Diğer bir deyimle, x2=2 olur. Bu denklemin kökü de rasyonel olmayan karekök 2 uzunluğudur. Yunan matematikçileri gerçel sayılan bilmiyorlardı. Üstün zekalı Eudoxos tarafından bulunan oranlama yöntemini kullanıyorlardı. Aslında, gerçel sayıların oluşumu kavramı bir ya da birçok insanın buluşu değildir. Rasyonel sayıların günlük hayatta kullanılması sırasında kendi kendine gelişmiştir. On tabanına göre sayıların sayılması ve yazılması, büyük bir olasılıkla iki eldeki parmakların sayılmasından doğmuştur. Şu sırada bile ilkel yaşam sürdüren bazı kabilelerde buna benzer sayma yöntemi vardır. On tabanına göre sayıların yazılması ve okunması, Avrupa’ya Crusades’ten sonra Arap dünyasından gelmiştir. Bunu Araplar Hintlilerden, Hintliler de Helen medeniyetinden aldılar. Yunan’lı astronomlar bu sayı sistemini, M.Ö. 1500 yıllarından beri kullanan, Babil’lilerden almışlardır. “Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor” sözleri de Pisagor’a aittir.

Pisagor, Archimedes’ten oldukça farklıdır. Pisagor hem mistik ve hem de matematikçidir. Mistik tarafları çoktur. Bunlar, efsaneleşmiş bir biçimde destan olarak anlatılmış, evren hakkında bu günkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür. Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar. Pisagor, Mısır’da ve Babil’de çok gezdi. Rahiplerden ilim öğrendi. Çok tanrılı olan o zamanın dini inançlarını benimsedi. Yaşadığı çağı ve aldığı rahip eğitimi göz önüne alınırsa, bunda yadırganacak pek bir şey de yoktur. Oldukça doğaldır. Matematiğe ispat fikrini getiren Pisagor için, sosyal ve şahsi yaşantısı bu kadar eleştiriye değmez. Yalnız, Pisagor ve bazı Yunan filozofları, örneğin, Euclides, Eflatun ve Aristo gibi alimleri, yaşadığı devirlerde, bugün için bilinen ilmi gerçeklerde hataya düşmüşlerdir. Bu filozofların felsefeleri, modern matematiğin kurucusu Descartes (1596-1650) ve Newton (1564-1642) kadar, modern fiziğin kurucusu Galile (1564-1642) ve modern kimyanın kurucusu olan Lavoisier (1743-1794) zamanına kadar iki bin yıllık bir gecikmeye neden olmuşlardır. Eğer Yunan’lılar Euclides, Eflatun ve Aristo yerine Archimedes’i izlemiş olsalardı, Descartes, Newton, Galile ve Lavoisier’in kurdukları modern ilme iki bin yıl önce ulaşır ve bugün içinde bulunduğumuz medeniyete iki bin yıl önce varılırdı. Yani, Archimedes’le Newton, Galile ve Lavoisier arasında tam iki bin yıllık ilmi boşluk vardır. Bu boşlukta kolay kolay doldurulamaz. Bu nedenle, Yunan’lıların medeniyetin ilerlemesine iki bin yıllık bir gecikmeye sebep oldukları bir gerçektir. Avrupa’da uzun yıllar egemen olan ve hüküm süren skolastik düşüncenin temeli Yunanistan’da atılmış ve İtalya’da geliştirilmiştir. Bu nedenle de uzun yıllar bu skolastik düşünce yenilememiştir. Bu uğurda çok sayıda ilim adamı yok edilmiştir.

Pisagor’dan önce, geometride, şekillerin aralarındaki bağlılıklar gösterilmeksizin elde edilenler, görenek ve tecrübeye dayanan bir takım kurallardı. Bu nedenle, daha gelen bir yetkili ne demişse o sürüp gidiyordu. Pisagor’un matematiğe ispat fikrini sokması bu yüzden çok önemlidir. O çağlarda çok tanrılı din vardı. Pisagor daha da ileri gidiyor ve “tanrı sayıdır” diyordu. Bu sayılar, 1, 2, 3…, şeklinde bugün bildiğimiz doğal sayılardı. Daha sonra, kendi kendine bir çelişkiye düştüğünü, tamsayıların hatta rasyonel sayıların bile matematiğe yetmediğini, kendi adıyla anılan Pisagor teoremiyle gördü. Buna bir süre karşı da çıktı. Fakat, sonunda bu yenilgiyi kabul etmesini de bilmiştir. Olayda karekök 2 şeklinde rasyonel bir uzunluğun olmaması problemidir. Halbuki Pisagor teoremine göre böyle bir uzunluk vardır. Pisagor’un kuramını yıkan problem, a2=2b2 denklemini gerçekleyen a ve b gibi iki tamsayıyı bulmak olanaksızdır. Pisagor’un karşılaştığı ikinci güçlük, bir karenin kenarının köşegenine bölümünün rasyonel bir sayı olmayışıdır. Bu söylediğimiz, a2=2b2 denkleminde adı geçen olaya eşdeğer olduğu açıktır. Bu problemi bugünkü matematik diliyle söylersek, karekök 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır. İşte, karenin köşegeni gibi basit bir uzunluk, Pisagor’un doğal sayılar kümesine meydan okuyarak, Pisagor’un ilk felsefe kuramını yalanlamıştır. Böylece, hiç bir zaman tekrar etmeyen sonsuz ondalıklı olan irrasyonel sayı bulunmuş olunur. Pisagor’un bu buluşu, modern analizin kökünü keşfetmiştir. Bu problem bir yerde, sıfır ile iki sayısı arasını rasyonel sayılarla kaplayabilir miyiz sorusunu doğurur. Yanıt hemen hayır olacaktır. Çünkü, 0<karekök 2<2 olan karekök 2 sayısı rasyonel değildir. 1,41 ile 1,42 sayıları arasında rasyonel olmayan bir sayıdır. Öyleyse, sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya bir gerçel sayı karşılık gelir postülatını şimdilik kabul edebiliriz. Bu görüşe Pisagor’culuk denir ve bu görüşe ileride Kronecker tarafından itiraz edileceğini hemen söyleyelim.

İşte, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla sıfır sayısından iki sayısına sürekli olarak gitmek mümkün diyenlerle, mümkün değildir diyenler arasında uzun yıllar tartışma olmuştur. Yüzyılımızda çıkan Brouwer’e kadar bu tartışma çeşitli şekillerde karşımıza çıkmıştır. Mümkün değil diyenler hiç bir ilerleme göstermeden yerinde saymışlar ve az hata yapmışlar fakat, mümkün diyenlerse çalışarak ve biraz da fazla hata yaparak bugünkü modern matematiğe ulaşmışlardır. Doğrunun sürekli olup olmadığı uzun yıllar tartışılmıştır. Pisagor, bu kuramlarla, sayılar aracılığıyla ve kendi yöntemleriyle evrenin doğal dengesini ve evrendeki cisimlerin ilişkilerini açıklamaya çalışmıştır. Şüphesiz, bu görüş ve düşünüşlerin birçoğu bugün geçerli değildir. Yine de, modern matematiğin temelini Pisagor atmıştır. Halbuki, M.Ö. 500-428 yıllarında Pisagor devrinde yaşamış olan Anaksgoras, Güneş’i, Dünya’dan kat kat daha büyük kızgın bir demir kütlesi olarak tanımlamıştır. Ay ışığının Güneş’ten gelen ışınların bir yansıması olduğunu da öne süren kişi olduğu da sanılmaktadır. Bu nedenle, Pisagor mistik olduğu kadar üstün zekalı bir matematikçidir sıfatları yerinde kullanılmıştır

1.ANALİTİK DÜZLEM:

Başlangıç noktaları birbirine denk olan iki sonlu eksenin oluşturduğu sisteme dik kordinat sistemi denir. Burada yatay eksene apsis ,dikey eksene ordinat ekseni denir. Noktaları sıralı ikililerle eşleşmiş düzlemede analitik düzlem denir 

ÖRNEK : A(2,4) , B(-2,3) , C(4,3) , D(-2,-3) , E(3,3) , F(5,-2) , G(3,0) , H(0,3) , I(-5,0) Noktalarını kordinat düzleminde gösteriniz.

                 NOT : Apsisi sıfır olan noktalar daima ordinat ekseni üzerindedir.Ordinatı 0 olan noktalar apsis üzerindedir.

2.BAĞINTI:

A ve B boş olmayan iki küme olsun. AxB nin her ß alt kümesine A dab B ye bir ikili bağıntı veya kısaca bağıntı denir.ß A dan B ye bir bağıntı olsa (x,y) €ß ise bunu yßx şeklinde gösteririz. (B nin y elemanı A nın x elemanına ß bağıntısı ile bağlıdır) denir.
Öyleyse yßx   (xy) € ß dır.
 ßCAxB     A ya tanım kümesi
  B yede değer kümesi denir.

ÖRNEK  :A={1,2,a}
                 B={b,c}

                  Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye birer bağıntıdır.
ß1 ={(2,b),(2,c)}   ß2 ={(1,b),(1,c}    ß3={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c)}
ß4={(a,b),(a,c)}    ß5={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(c,a)}
CEVAP:   AxB={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,b),(3,c)}

ß1 C AxB olduğundan ß1 A dan B ye bağıntıdır.
ß2 C AxB olduğundan ß2  A dan B ye bağıntıdır.
ß3 C AxB olduğundan ß3  A dan B ye bağıntıdır.
ß4 C AxB olduğundan  ß4  A dan B ye bağıntıdır.
ß5 € AxB olduğundan  ß5  A dan B ye bağıntı değildir.

3.BAĞINTI SAYISI:

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile
B kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterelim
                                              s(A).s(B)
A dan B ye bağıntı sayısı = 2

    BAĞINTI (SIRALI İKİLİ, EŞİT İKİLİLER, KARTEZYEN ÇARPIMI)

1.SIRALI İKİLİ: Herhangi x ve y elemanının sıra gözetilerek (x,y) şeklinde yazılmasına sıralı ikili veya sadece ikili denir. x e bu ikilinin 1. bileşeni , y yede 2. bileşeni denir.

(Yalova,77)                     (2,-3)
(Denizli,20)                     (3,5)
(Bursa,16)                        (-6,3)
1.bileşen    2. bileşen  3. bileşen   4. bileşen
2.EŞİT İKİLİLER:İki ikilinin eşit olması için karşılıklı bileşenleri birbirine eşit olması gerekir.
        
                  (a,b)=(c,d)  =>   ^ 
ÖRNEK: (x,3)=(4,y)  => (x,y)=?
                                     x=4               (x,y)=(4,3)
                                     y=3

ÖRNEK : (3x+7,8)=(28,2y)   =>   (x,y)
        x=7              (x,y)=(7,4)
        y=4
3.KARTEZYEN ÇARPIMI:A ve B boş olmayan iki küme olsun. 1. bileşeni A dan 2.bileşeni  b den alınarak oluşturulan  bütün ikililerin kümesine  A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve AxB biçiminde gösterilir.
AxB={(x,y) I x €A , y €B}
ÖRNEK :  A={a,b,c}              AxB={(a,2),(a,3),(b,2),(,b,3),(c,2),(c,3)}
                                      =>
                  B={2,3}                 BxA={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

                   s(AxB)=s(A).s(B)=3.2=6

                                    (a,2)≠(2,a)   (b,2)≠(2,b)    (c,2)≠(2,c)
                                    (a,3)≠(3,a)   (b,3)≠(3,b)    (c,3)≠(3,c)

NOT:Kartezyen çarpımının değişme özelliği yoktur.

B. KORDİNAT DÜZLEMİ İLE:

NOT:Bir bağlantının elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu bağıntının grafiği denir.

           ß={(a,a),(b,c),(b,a),(c,a)}                                 ß={(a,a),(b,c),(b,a),(c,a)}

2.BAĞINTININ TERSİ

ß, A dan B ye bir bağıntı olsun. ß bağıntısını oluşturan ikililerin birleşenlerin yer değiştirmesiyle elde edilen küme B den A ya bir bağıntı olur. Bu bağıntıya ß tersi denir. 
 -1
ß ile gösterilir.

ß C AxB      ß={(x,y)  I   x € A , y € B }
  -1                           -1
ß  C BxA     ß={(y,x)  I   (x,y) € ß }

ÖRNEK: A={1,2,3,4,5} kümesinde tanımlı A dan A ya bir bağıntı
                                                                                                                               -1
 ß={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(3,4)} ise , ß bağıntısı ile ß  bağıntısının grafiklerini çizelim.
    -1                                                              
 ß ={(2,1),(3,1),(5,1);(3,2),(4,3)}
                                                            -1
 NOT:bir ß bağıntısı ile ß bağıntısının  grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.
3.BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

A. YANSIMA ÖZELLİĞİ:

ß A kümesi üzerinde bir bağıntı olsun. Anın her x elemanı için (x,x) € ß oluyorsa ß bağıntısının yansıma özelliği vardır veya ß yansıyan bir bağıntıdır denir.

¥ x € A iken (x,x) € ß  oluyorsa ß A da yansıyandır.

ÖRNEK:  A={a,b,c}
                 B={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} ise ß a da yansıyan mıdır?

a € A  için  (a,a) € ß         olduğundan
b € B  için  (b,b) € ß
c € ß  için   (c,c) € ß          ß  A da yansıyandır.

B. SİMETRİ ÖZELLİĞİ:
ß , A üzerinde tanımla bir bağıntı olsun. ¥ (x,y) € ß iken (y,x) ß oluyorsa ß nın simetri özelliği vardır denir.

ÖRNEK:     A= {1,2,3,4}

ß={(1,2),(2,3),(3,3),(2,1),(3,2),(4,3),(3,4)}
(1,2) € ß iken   (2,1) € ß
(2,3) € ß iken   (3,2) € ß
(3,3) € ß iken   (3,3) € ß
(2,1) € ß iken   (1,2) € ß
(3,2) € ß iken   (2,3) € ß
(4,3) € ß iken   (3,4) € ß
___________________
olduğundan ß A da simetrikdir.

NOT: Bir bağıntı köşegene göre  simetrik elemanları bulunduruyorsa o bağıntı simetriktir.

C.TERS SİMETRİ ÖZELLİĞİ:

ß , A kümesi üzerinde tanımlanan  bir bağıntı olsun. Eğer (x,y) € ß iken (x,y) € ß oluyorsa veya
(x,y) € ß ^ (x,y) € ß iken x=y oluyorsa ß A üzerinde ters simetriktir.

ÖRNEK:  A={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi ters simetri
özelliği gösterir.

a) A={a,b,c,d}
                ß1={(a,b),(b,d),(c,d)}    bağıntısı
                         ¥ (x,y) € ß1 için (x,y) € ß1
                    (a,b) € ß1    (b,a) € ß1   
        (b,d) € ß1    (d,b) € ß1   
        (c,d) € ß1    (d,c) € ß1   

b)  ß2={(a,c),(c,d),(a,a)}
                  ¥(x,y) € ß2 iken (x,y) € ß2
                   (a,a)  terimleri eşit ters simetriyi  bozmaz.  

c)  ß3={(a,b)} bağıntısı ters simetriktir.
            (a,b) € ß3 iken (b,a)  € ß3

d)  ß4={(a,b),(c,d),(a,a)}
            (c,d) € ß4 iken (d,c) € ß4 olup ters simetri özelliği yoktur.

D. GEÇİŞME ÖZELLİĞİ: ß , A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun .
¥  [(x,y) € ß ^ (y,z) € ß ] iken (x,y9 € ß oluyorsa ß bağıntısının geçişme özelliği vardır denir. Ancak herhangi bir ikilinin ikinci bileşeni ile başlayan başka bir ikili bulunuyorsa geçişme özelliği bulunmaz.

ÖRNEK: A={a,b,c}

ß={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

(a,a) € ß ^ (a,b) € ß  iken (a,b) € ß
(b,b) € ß ^ (b,a) € ß  iken (b,a) € ß
(a,b) € ß ^ (b,b) € ß  iken (a,b) € ß
(a,b) € ß ^ (b,a) € ß  iken (a,a) € ß
(b,a) € ß ^ (a,a) € ß  iken (b,a) € ß
(b,a) € ß ^ (a,b) € ß  iken (b,b) € ß
____________________________
olduğundan ß A da geçişgendir.

Çift Sayılar : Birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılara çift sayılar denir

Tek Sayılar : Birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılara tek sayılar denir

2 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 2 ye kalansız bölünebilmesi için; sayının çift olması gerekir, yani birler basamağının çift olması gerekir.

Örnek

                2318 sayısı birler basamağı çift olduğu için 2 ye kalansız olarak bölünür.

3 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 3 e kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 3 veya 3′ ün katı olması gerekir.

Örnek

                8194  sayısı 8+1+9+4 =22 olup 22 3 ün katı olmadığından 3 e kalansız olarak bölünmez.

 5 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 5 e kalansız bölünebilmesi için; sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.

Örnek

                760 sayısı birler basamağı 0 olduğu için 5 e kalansız olarak bölünür.

9 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 9 a kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 9 veya 9 un katı olması gerekir.

Örnek

                64548 sayısı 6+4+5+4+8 = 27 olup 27  9 un katı olduğundan 9 a kalansız olarak bölünür

DEĞERLENDİRME:

1-       76586 sayısı 2 ye kalansız olarak bölünür mü?

2-       548 sayısı 3 e kalansız olarak bölünür mü?

3-       2387 sayısı 5 e kalansız olarak bölünür mü?

4-       8765 sayısı 9 a kalansız olarak bölünür mü?

5-       548747021 sayısı 2,3,5,9 sayılarından hangilerine kalansız olarak bölünür?

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN:

İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne denir

18 ile 16 nın E.B.O.B. unu bulalım

18 in bölenleri kümesi {1, 2,3,6,9,18}

16 nın bölenleri kümesi {1, 2, 4, 8, 16 }

bu iki kümedeki ortak elemanlar ( ortak bölenler )

{ 1, 2 }  dir

bu kümedeki en büyük eleman olan 2 sayısı 16 ile 18 in E.B.O.B. dur

E.B.O.B. UN KISA YOLDAN HESAPLANMASI

36      ile  48 in E.B.O.B. unu bulun

36            48            2  *

18            24            2  *

9              12            2 

9              6              2

9              3              3  *

3              1              3

1

DEĞERLENDİRME:

1-       42 ile 86 nın E.B.O.B. unu hesaplayın

2-       100 , 24 , 20 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın

3-       72 , 54 , 36 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın

4-       206 , 120 sayılarının E.B.O.B. unu hesaplayın

EN KÜÇÜK ORTAK KAT:

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne denir

12 ile 18 in O.K.E.K. ini bulalım

12 nin katları { 12, 24, 36, 48 .. }

18 in katları { 18, 36, 54 .. }

bunlardan ortakları {36 ,…. }

olup en küçüğü 36 olduğundan

O.K.E.K. ( 12, 18 ) = 36  dır

E.K.O.K. İN KISA YOLDAN HESAPLANMASI

12 ile 18 in E.K.O.K u

                12            18            2

                6              9              2

                3              9              3

                1              3              3

                               1

DEĞERLENDİRME:

1-         76 ile 34 un E.K.O.K. unu hesaplayın

2-         52 , 54 , 56 sayılarının E.K.O.K. unu hesaplayın

3-         42 ile 24 sayılarının E.B.O.B. ve E.K.O.K. larını hesaplayın ve bunları çarpın

Problemler

1-       28 ve 42 litrelik iki kap zeytinyağı ile doludur. Bu yağları eşit hacimli en büyük kaplara boşaltmak istiyoruz

a)       Kaplar kaçar litrelik olmalıdır?

b)       Boşaltmanın tamamlanması için kaç kap gerekmektedir?

2-       Bir öğretmen sınıftaki öğrencileri 6 şar, 9 ar ve 12 şer gruplara ayırdığında her seferinde 4 öğrenci arttığına göre. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

 3-       Boyutları 12, 15 ve 18 cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde tuğlalardan yararlanılarak en büyük boyda küp şeklinde bir cisim yapılmak isteniyor

a)       Küpün bir kenarı kaç cm olur?

b)       Kaç tane tuğla gerekir?

4-       72 yaşındaki bir babanın 1 kızı ve 1 de oğlu vardır. Oğlunun yaşı 48 dir. Kızının yaşı babanın yaşı ile oğlunun yaşını bölen en büyük sayını yarısından 10 fazla olduğuna göre. Kızının yaşı nedir?

5-       52 m uzunluğunda ve 39 m genişliğinde dikdörtgenler biçimindeki bir tarla kare şeklinde eşit parçalara bölünmek isteniyor.

a)       Kare şeklindeki parçalardan herbirini bir kenar uzunluğu nedir?

b)       Bu tarla kaç parçaya bölünmüş olur?

 6-       30 un asal çarpanlarının oluşturduğu kümenin eleman sayı nedir?

7-       30 a ve 40 a bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük doğal sayı nedir?

Yüzde Kavramı

100 kişinin katıldığı bir sınavda 57 kişi başarılı olmuştur. Bu sınavdaki başarı oranını bulalım:

Başarılı olanların sayısı/Sınava katılanların sayısı = 57/100 dir. Bu oran,

57/100 = 1/100 x 57 = 0,01 şeklinde de yazılır.

1/100 veya 0,01 yerine ‘%’sembolü kullanılarak,

57/100 = %57 yazılır.Yüzde elli yedi diye okunur.

Paydası 100 olan sayılara Yüzde Oranı denir.

      Her oran, yüzde oranı şeklinde yazılabilir:

71/100 =1/71 x 71 = %71

      Her oran, genişletilebilir ve sadeleştirilebilir:

48/400 = 48:4/400:4 =12/100 = %12

Yüzde Olarak Verilen Bir Sayının Rasyonel Sayı Olarak Yazılması

Her yüzde oran, ondalık kesir veya rasyonel sayı olarak yazılabilir:

%70 = 70/100 = 0,7 ondalık kesir.

%70 = 70/100 = 7/10

Örnek:Verilen bir sayının belirtilen yüzdesini bulmak:

800 sayısının %2 si ?

%2 =2/100 = 0,02

800 x 0,02 = 16

Örnek:%1 verilen bir sayının belirtilen bir yüzdesini ve tamamını bulmak:

%1 589 olan bir sayının,

%10 nu = 589 x 10 = 5890

%100 ü = 589 x 100 = 58900

Örnek:Yüzdesi verilen bir sayının tamamını(%100) bulmak:

%360 ı 540 olan sayının tamamını bulalım

%360 ı 540 ise

%1 i 540/360 = 1,5

%1 i            1,5 olan sayının

%100 ü        1,5 x 100 = 150 olur.

150 = Temel Sayı %360 = Yüzde Oran 540 = Yüzde Payı                          adı verilir.

Temel Sayı:Yüzde Payı/Yüzde Oran

Yüzde Oran:Yüzde Payı/Temel Sayı

Yüzde Payı:Temel Sayı x Yüzde Oran

Örnek Soru:

3000 öğrencisi bulunan bir okulda 660 kız öğrencisi vardır.

Bu okuldaki öğrencilerin kaçta kaçı kız öğrencidir?

Temel Sayı:3000

Yüzde Payı:660

Yüzde Oranı:Yüzde Payı/Temel Sayı

Y.O.= 660/3000

Y.O.= %22

Yüzde Hesabı Uygulamarı

Kar-Zarar Hesapları

Alış fiyatı, masraf, mal oluş fiyatı, satış fiyatı, kar, zarar gibi terimleri günlük hayatımızda sık sık duyarız.

Alış Fiyatı:Alınan bir mal için ödenen bedeldir.

Masraf:Alınan malların satış yerine getirilmesi için ödenen taşıma, sigorta, benzeri bedeldir.

Mal Oluş Fiyatı:Alış Fiyatı + Masraflar

Satış Fiyatı:Mal Oluş Fiyatı + Kâr

Bazen çeşitli ndenlerden dolayı bir mal, mal oluş fiyatından düşük bir fiyata satılır bu durumda:

Satış Fiyatı:Mal Oluş Fiyatı – Zarar

Olur.

Örnek Soru:

Mal oluş fiyatı 44000 TL olan bir malın, %60 karlı fiyatını ve %80 zararla satılan fiyatını bulalım:

44000 liranın %60 lirası

(44000 x 60)/100 = 26400 liradır.

Satış Fiyatı(karlı) = 44000+26400=70400 lira

44000 liranın %80 lirası

(44000 x 80)/100 = 35200 liradır.

Satış Fiyatı(zararına) = 44000-35200=8800 lira

Komisyon Hesabı

Bir alışverite aracılık eden kişiye ‘komisyoncu’, komisyoncuya verilen parayada ‘komisyon’ denir.

Örnek Soru:

Bir komisyoncu %8 komisyonla sattığı bir maldan 55000 lira komisyon alıyor.

Malın satış fiyatını bulunuz.

Satış fiyatının

%8 kadarı           55000 lira ise

%100                 x        kadardır.

Doğru Orantı

X = (55000.100)/8 = 687500 liradır.

İskonto(indirim) Hesabı

Bazen satıcılar satışı özendirmek veya iş değiştirmek,malın özürlü olması gibi neden lerden dolayı, normal satış fiyatından indirim yaparlar.Buna ‘İskonto’ denir.

Örnek Soru:

Bir malın satış fiyatı 120 000 liradır. Bu malın %12 iskontolu fiyatı ne kadardır?

Yapılan indirim 12000 liranın %12 sidir.

(120000.100)/8

Malın indirimli fiyatı = 120000 – 14400 =

=105600 liradır.

Faiz Hesaplamaları

Borç olarak alınan paraya karşılık, ödenen paraya faiz denir.

Özellikle bankalar müşterilerinin yatırdığı paralara veya müşteriye kredi olarak verdikleri paralara belli süreler için, bellibir yüzde üzerinden faiz uygularlar.

Borç alınan veya verilen paraya:Ana Para

Uygulanan faiz oranına:Faiz Fiyatı

Ana paranaın faizde kaldığı süreye:Zaman

Zaman sonunda alınan fazla paraya:Faiz

Faiz Miktarı:kapital, faiz fiyatı ve zamanla doğru orantılıdır. Zaman olarak gün, ay ve  yıl kullanılır.

  Faiz Formülleri:

Faiz Sorularında:

A:Kapital

t:Zaman

n:Faiz miktarı olmak üzere:

= A.t.n

    100(yıllık)1200(aylık)36000(günlük)

Örnek Soru:

18000 lira %99 faiz ile 7 aylığına bankaya yatırılmıştır. 7 ay sonunda kaç lira faiz getirir?

100 lira      12 ayda      99 lira getirirse

18000 lira      7 ayda      f lira faiz getirir.

D.O.                            D.O.

Calışma Sayfasını sağ tıklayıp farklı kaydet seçeneği ile alabilirsiniz.