2 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod2) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º 0(mod2) olduğuna göre “n∈N için 10n º 0 (mod2)
x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmalı.
Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı.
O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır.
3 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod3) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º1 (mod3) olduğuna göre “n∈N için 10n º 1(mod3)
x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmalı
Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı
O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
4 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmalı
101 º 2 (mod4)
102 º 0 (mod4)
103 º 0 (mod4)
104 º 0 (mod4)
O halde
x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)
a1.10+a0 º 0 (mod4) olmalı
O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.
5 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod5) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0
10 º 0 (mod5) olduğuna göre “n∈N için 10n º 0(mod5)
x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmalı
a0 º (mod5)
O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.
6 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmalı
6 = 2 . 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise
x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.
O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.
7 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)
101 º 3 (mod7)
102 º 2 (mod7)
103 º 6 º -1 (mod7)
104 º-3 (mod7)
105 º-2 (mod7)
106 º 1 (mod7)
x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)
+ - +
O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.
8 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için
x º 0(mod8) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmalı
101 º 2 (mod8)
102 º 4 (mod8)
103 º 0 (mod8) “n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)
104 º 0 (mod8)
x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmalı
a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı
O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır.
9 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmalı.
10 º 1(mod9) “n∈N için 10n º 1(mod9)
x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur
an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.
O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.
11 İle Bölünebilme
x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod11) olmalı
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0
|
“n∈N ve n, çift için 10n º 1 “n∈N ve n, tek için 10n º-1 |
101 º -1 (mod11)
102 =100 º 1 (mod11)
103 º-1 (mod11)
104 º 1 (mod11)
105 º-1 (mod11)
106 º 1 (mod11)
x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0
an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)
O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.
21 İle Bölünebilme
21 = 3 . 7
Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.