Mar 07

ANALİTİK DÜZLEM, BAĞINTI, BAĞINTI SAYISI

1.ANALİTİK DÜZLEM:

Başlangıç noktaları birbirine denk olan iki sonlu eksenin oluşturduğu sisteme dik kordinat sistemi denir. Burada yatay eksene apsis ,dikey eksene ordinat ekseni denir. Noktaları sıralı ikililerle eşleşmiş düzlemede analitik düzlem denir 

ÖRNEK : A(2,4) , B(-2,3) , C(4,3) , D(-2,-3) , E(3,3) , F(5,-2) , G(3,0) , H(0,3) , I(-5,0) Noktalarını kordinat düzleminde gösteriniz.

                 NOT : Apsisi sıfır olan noktalar daima ordinat ekseni üzerindedir.Ordinatı 0 olan noktalar apsis üzerindedir.

2.BAĞINTI:

A ve B boş olmayan iki küme olsun. AxB nin her ß alt kümesine A dab B ye bir ikili bağıntı veya kısaca bağıntı denir.ß A dan B ye bir bağıntı olsa (x,y) €ß ise bunu yßx şeklinde gösteririz. (B nin y elemanı A nın x elemanına ß bağıntısı ile bağlıdır) denir.
Öyleyse yßx   (xy) € ß dır.
 ßCAxB     A ya tanım kümesi
  B yede değer kümesi denir.

ÖRNEK  :A={1,2,a}
                 B={b,c}

                  Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye birer bağıntıdır.
ß1 ={(2,b),(2,c)}   ß2 ={(1,b),(1,c}    ß3={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c)}
ß4={(a,b),(a,c)}    ß5={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(c,a)}
CEVAP:   AxB={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,b),(3,c)}

ß1 C AxB olduğundan ß1 A dan B ye bağıntıdır.
ß2 C AxB olduğundan ß2  A dan B ye bağıntıdır.
ß3 C AxB olduğundan ß3  A dan B ye bağıntıdır.
ß4 C AxB olduğundan  ß4  A dan B ye bağıntıdır.
ß5 € AxB olduğundan  ß5  A dan B ye bağıntı değildir.

3.BAĞINTI SAYISI:

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile
B kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterelim
                                              s(A).s(B)
A dan B ye bağıntı sayısı = 2

    BAĞINTI (SIRALI İKİLİ, EŞİT İKİLİLER, KARTEZYEN ÇARPIMI)

1.SIRALI İKİLİ: Herhangi x ve y elemanının sıra gözetilerek (x,y) şeklinde yazılmasına sıralı ikili veya sadece ikili denir. x e bu ikilinin 1. bileşeni , y yede 2. bileşeni denir.

(Yalova,77)                     (2,-3)
(Denizli,20)                     (3,5)
(Bursa,16)                        (-6,3)
1.bileşen    2. bileşen  3. bileşen   4. bileşen
2.EŞİT İKİLİLER:İki ikilinin eşit olması için karşılıklı bileşenleri birbirine eşit olması gerekir.
        
                  (a,b)=(c,d)  =>   ^ 
ÖRNEK: (x,3)=(4,y)  => (x,y)=?
                                     x=4               (x,y)=(4,3)
                                     y=3

ÖRNEK : (3x+7,8)=(28,2y)   =>   (x,y)
        x=7              (x,y)=(7,4)
        y=4
3.KARTEZYEN ÇARPIMI:A ve B boş olmayan iki küme olsun. 1. bileşeni A dan 2.bileşeni  b den alınarak oluşturulan  bütün ikililerin kümesine  A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve AxB biçiminde gösterilir.
AxB={(x,y) I x €A , y €B}
ÖRNEK :  A={a,b,c}              AxB={(a,2),(a,3),(b,2),(,b,3),(c,2),(c,3)}
                                      =>
                  B={2,3}                 BxA={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

                   s(AxB)=s(A).s(B)=3.2=6

                                    (a,2)≠(2,a)   (b,2)≠(2,b)    (c,2)≠(2,c)
                                    (a,3)≠(3,a)   (b,3)≠(3,b)    (c,3)≠(3,c)

NOT:Kartezyen çarpımının değişme özelliği yoktur.

 

B. KORDİNAT DÜZLEMİ İLE:

NOT:Bir bağlantının elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu bağıntının grafiği denir.

           ß={(a,a),(b,c),(b,a),(c,a)}                                 ß={(a,a),(b,c),(b,a),(c,a)}

2.BAĞINTININ TERSİ


ß, A dan B ye bir bağıntı olsun. ß bağıntısını oluşturan ikililerin birleşenlerin yer değiştirmesiyle elde edilen küme B den A ya bir bağıntı olur. Bu bağıntıya ß tersi denir. 
 -1
ß ile gösterilir.

ß C AxB      ß={(x,y)  I   x € A , y € B }
  -1                           -1
ß  C BxA     ß={(y,x)  I   (x,y) € ß }

ÖRNEK: A={1,2,3,4,5} kümesinde tanımlı A dan A ya bir bağıntı
                                                                                                                               -1
 ß={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(3,4)} ise , ß bağıntısı ile ß  bağıntısının grafiklerini çizelim.
    -1                                                              
 ß ={(2,1),(3,1),(5,1);(3,2),(4,3)}
                                                            -1
 NOT:bir ß bağıntısı ile ß bağıntısının  grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.
3.BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

A. YANSIMA ÖZELLİĞİ:

ß A kümesi üzerinde bir bağıntı olsun. Anın her x elemanı için (x,x) € ß oluyorsa ß bağıntısının yansıma özelliği vardır veya ß yansıyan bir bağıntıdır denir.

¥ x € A iken (x,x) € ß  oluyorsa ß A da yansıyandır.

ÖRNEK:  A={a,b,c}
                 B={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} ise ß a da yansıyan mıdır?

a € A  için  (a,a) € ß         olduğundan
b € B  için  (b,b) € ß
c € ß  için   (c,c) € ß          ß  A da yansıyandır.

 

B. SİMETRİ ÖZELLİĞİ:
ß , A üzerinde tanımla bir bağıntı olsun. ¥ (x,y) € ß iken (y,x) ß oluyorsa ß nın simetri özelliği vardır denir.

ÖRNEK:     A= {1,2,3,4}

ß={(1,2),(2,3),(3,3),(2,1),(3,2),(4,3),(3,4)}
(1,2) € ß iken   (2,1) € ß
(2,3) € ß iken   (3,2) € ß
(3,3) € ß iken   (3,3) € ß
(2,1) € ß iken   (1,2) € ß
(3,2) € ß iken   (2,3) € ß
(4,3) € ß iken   (3,4) € ß
___________________
olduğundan ß A da simetrikdir.

NOT: Bir bağıntı köşegene göre  simetrik elemanları bulunduruyorsa o bağıntı simetriktir.

C.TERS SİMETRİ ÖZELLİĞİ:

ß , A kümesi üzerinde tanımlanan  bir bağıntı olsun. Eğer (x,y) € ß iken (x,y) € ß oluyorsa veya
(x,y) € ß ^ (x,y) € ß iken x=y oluyorsa ß A üzerinde ters simetriktir.

ÖRNEK:  A={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi ters simetri
özelliği gösterir.

a) A={a,b,c,d}
                ß1={(a,b),(b,d),(c,d)}    bağıntısı
                         ¥ (x,y) € ß1 için (x,y) € ß1
                    (a,b) € ß1    (b,a) € ß1   
        (b,d) € ß1    (d,b) € ß1   
        (c,d) € ß1    (d,c) € ß1   

b)  ß2={(a,c),(c,d),(a,a)}
                  ¥(x,y) € ß2 iken (x,y) € ß2
                   (a,a)  terimleri eşit ters simetriyi  bozmaz.  

c)  ß3={(a,b)} bağıntısı ters simetriktir.
            (a,b) € ß3 iken (b,a)  € ß3

d)  ß4={(a,b),(c,d),(a,a)}
            (c,d) € ß4 iken (d,c) € ß4 olup ters simetri özelliği yoktur.

D. GEÇİŞME ÖZELLİĞİ: ß , A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun .
¥  [(x,y) € ß ^ (y,z) € ß ] iken (x,y9 € ß oluyorsa ß bağıntısının geçişme özelliği vardır denir. Ancak herhangi bir ikilinin ikinci bileşeni ile başlayan başka bir ikili bulunuyorsa geçişme özelliği bulunmaz.

ÖRNEK: A={a,b,c}

ß={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

(a,a) € ß ^ (a,b) € ß  iken (a,b) € ß
(b,b) € ß ^ (b,a) € ß  iken (b,a) € ß
(a,b) € ß ^ (b,b) € ß  iken (a,b) € ß
(a,b) € ß ^ (b,a) € ß  iken (a,a) € ß
(b,a) € ß ^ (a,a) € ß  iken (b,a) € ß
(b,a) € ß ^ (a,b) € ß  iken (b,b) € ß
____________________________
olduğundan ß A da geçişgendir.

admin tarafından yazılmıştır \\ etiketler: ,


Yorum Yaz